מציאת q, האחוז והזמן3 יחידות 371 · שיעור 2

מתמטיקה 3 יחידות · שאלון 371

מציאת q, האחוז והזמן

פרק 1 – גדילה ודעיכה

1נוסח השאלה

2סעיף א – מציאת q

3סעיף ב – האחוז

4סעיף א – מציאת q

5סעיף ב – האחוז

6סעיף ג – מציאת הזמן

📄 נוסח השאלה

סעיף א – מציאת q

מ־2022 עד 2024 עברו 2 שנים.

M_t = M₀ · q^t

📐 גדילה ודעיכה

נציב M_t = 24,200 , M₀ = 20,000 , t = 2:

24,200 = 20,000 · q²

נחלק את שני האגפים ב־20,000:

q² = 24,20020,000 = 1.21

📐 גדילה ודעיכה

M_t = M₀ · q^t

סעיף א – מציאת q · המשך

q² = 24,20020,000 = 1.21

נוציא שורש ריבועי (במחשבון: √ 1.21 =):

q = √1.21 = 1.1

✅ פתרון סופי: q = 1.1

סעיף ב – האחוז

q גדול מ־1, ולכן זו גדילה:

p = (q − 1) · 100

📐 האחוז מתוך q בגדילה

נציב q = 1.1:

p = (1.1 − 1) · 100 = 10

✅ פתרון סופי: מספר התושבים גדל ב־10% בכל שנה

📐 האחוז מתוך q בגדילה

p = (q − 1) · 100

סעיף א – מציאת q

M_t = M₀ · q^t

📐 גדילה ודעיכה

נציב M_t = 30,720 , M₀ = 60,000 , t = 3:

30,720 = 60,000 · q³

נחלק את שני האגפים ב־60,000:

q³ = 30,72060,000 = 0.512

3 שנים – נוציא שורש שלישי (במחשבון: SHIFT ∛ 0.512 =):

📐 גדילה ודעיכה

M_t = M₀ · q^t

סעיף א – מציאת q · המשך

3 שנים – נוציא שורש שלישי (במחשבון: SHIFT ∛ 0.512 =):

q = ³√0.512 = 0.8

✅ פתרון סופי: q = 0.8

סעיף ב – האחוז

q קטן מ־1, ולכן זו דעיכה:

p = (1 − q) · 100

📐 האחוז מתוך q בדעיכה

נציב q = 0.8:

p = (1 − 0.8) · 100 = 20

✅ פתרון סופי: ערך המכונית יורד ב־20% בכל שנה

📐 האחוז מתוך q בדעיכה

p = (1 − q) · 100

סעיף ג – מציאת הזמן

אחרי 3 שנים הערך הוא 30,720 – עדיין יותר מ־20,000. נבדוק את השנה הרביעית:

M_t = M₀ · q^t

📐 גדילה ודעיכה

נציב M₀ = 60,000 , q = 0.8 , t = 4:

M₄ = 60,000 · 0.8⁴ = 24,576

עדיין יותר מ־20,000. נבדוק את השנה החמישית, t = 5:

M₅ = 60,000 · 0.8⁵ = 19,660.8

📐 גדילה ודעיכה

M_t = M₀ · q^t

סעיף ג – מציאת הזמן · המשך

M₅ = 60,000 · 0.8⁵ = 19,660.8

אחרי 4 שנים הערך יותר מ־20,000, ואחרי 5 שנים הוא כבר פחות.

✅ פתרון סופי: אחרי 5 שנים

📌 סיכום התשובות

הנוסחה

M_t = M₀ · q^t

מציאת q

מחלקים ב־M₀ ומוציאים שורש לפי מספר התקופות

האחוז בגדילה

p = (q − 1) · 100

האחוז בדעיכה

p = (1 − q) · 100

מציאת הזמן

מחשבים שנה אחרי שנה עד שמגיעים לכמות

דוגמה 1

q = 1.1 , גדילה של 10%

דוגמה 2

q = 0.8 , ירידה של 20% , אחרי 5 שנים

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא